一个概率问题:为了拿到金币,是否应该换盒子?

yqbboy 发布于 2013/02/07 11:44
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问题如下:
有3个盒子ABC,其中一个盒子里面有金币,其他的两个盒子都是空的。假设你选定了A盒子之后,主持人打开了B盒子,并且B盒子是空的。这时候主持人问是否需要换成C盒子?
这个问题在今年校招中,出现在很多笔试和面试当中,不过当时没有想明白。所以想来这里问问,究竟应不应该换盒子?
问题2:
有3个盒子ABC,其中一个盒子里面有金币,其他的两个盒子都是空的。有3个嘉宾同时上台,其中一个是你.3个人一人选了一个盒子,你选择了A盒.选B盒的先打开了盒子,发现B盒子是空的。选C盒的问你要不要跟他换?请问你要不要跟他换?(概率能否定向转移?如果能,在A看来.B的概率是转给了c,在c看来,概率转给了A?)
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魔力猫
魔力猫
随便找本概率论,第一个问题都是这个。
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IdleMan
IdleMan
一个农民担心自
己的获奖的奶牛走丢了。这时送奶工到了农场,他告诉农民不要担心,因为他看到那头奶牛在附件的一块空地上。虽然农民很相信送奶工,但他还是亲自看了看,他看到了熟悉的黑白相间的形状并感到很满意。过了一会,送奶工到那块空地上再次确认。那头奶牛确实在那,但它躲在树林里,而且空地上还有一大张黑白相间的纸缠在树上,很明显,农民把这张纸错当成自己的奶牛了。问题是出现了,虽然奶牛一直都在空地上,但农民说自己知道奶牛在空地上时是否正确?
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IdleMan
IdleMan
如果说上帝是万能的,他能否创造一块他举不起来的大石头?
Dr.Who
Dr.Who
可以,讨论上帝时矛盾律不成立(一切人类逻辑不适用)。
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cut
cut

换跟没换,开到金币的概率是一样的骚年

叶秀兰
叶秀兰
我也觉得一样~
黑狗
黑狗
换盒子,你赚钱的概率会更大
黑狗
黑狗
必须不是一样的。。。
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shuichonger
shuichonger

问题1换

问题2 不换 无转移

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Hassan
Hassan
高端题啊。。。表示不会算。
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cut
cut
首先,在3个盒子都没打开的时候,你是不是1/3的机会得到金币,而到盒子打开先后跟你一开始选择盒子中有无金币有毛关系啊,即使是排除其中一个空盒,但你仍不能确定你的不是空盒的情况下,换个盒子概率还是不变的。唯一可能变的就是在第一题中,你贿赂了主持人,他有意提醒你,换盒子才能提高命中率。
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wyzc小胖胖
wyzc小胖胖

转 确实应该这么考虑分析吧

一定要换成C盒子,利用后验概率可以算出:在主持人打开B盒子为空的情况下,金币在C中的概率一定大于金币在A中的概率。

分析如下:
1. 若A有金币(先验概率为1/3),主持人以k的概率(通常为1/2)打开B盒子;
2. 若B有金币(先验概率为1/3),主持人打开B的概率为0(除非主持人傻);
3. 若C有金币(先验概率为1/3),主持人100%打开B。

(1)p(A有金币|B打开)
=p(B打开|A有金币)X P(A有金币)/P(B打开)
=p(B打开|A有金币)X P(A有金币)/[P(B打开|C有金币)X P(C有金币)+P(B打开|A有金币)X P(A有金币)]
=k X 1/3 / [1 X 1/3 +k X 1/3]
=K/(K+1)

该值何时等于1/3 呢(也就是经典解法里的假设)? 只有 K=1/2 时。也就是一般情况下。 但如果主持人有偏好,比方说他就是喜欢打开左边的盒子(假设B在左边),设K=3/4, 那么A有金币的概率就变成了 3/5,不再是1/3,后验事实改变了先验概率的估计!但这并不改变正确的选择,我们仍然应该改选C盒子, 解释如下:

(2)P(C有金币|B打开)
=p(B打开|C有金币)X P(C有金币)/P(B打开)
=p(B打开|C有金币)X P(C有金币)/[P(B打开|C有金币)X P(C有金币)+P(B打开|A有金币)X P(A有金币)]
=1 X 1/3 /[1 X 1/3 +k X 1/3]
=1/(K+1)
而K < 1(假设主持人没有极端到非B不选的程度),1/(K+1)>1/2,所以永远有 P(A有金币|B打开) < P( C有金币|B打开)。C有金币的概率永远比A大,我们还是应该改变选择。

leetom
leetom
但是主持人会不会有这种心理,你选中盒子,才会打开一个空的问你换不换,如果没选中,就不会问了。。
leetom
leetom
回复 @小胖胖_要减肥 : 那不是K的意思。“若B有金币(先验概率为1/3),主持人打开B的概率为0(除非主持人傻);” 但是这里第一题跟第二题同时出现,应该意思就是主持人知道哪个盒子有金币。
wyzc小胖胖
wyzc小胖胖
@leetom 所以有那个k值啊 你看当看=1/2的时候
leetom
leetom
你这是假设主持人知道哪个盒子有金币,题目没有明确表示有这个意思。问题2中的就不应该这样算了。
叶秀兰
叶秀兰
膜拜,表示概率论没学好
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老陌
老陌

坚决要换。

假如我始终选择 “换”,那么:

1. 我选到 没有金币的盒子 概率 为 2/3, 这时候我就会拿到金币。

2. 我选到 有金币的盒子 概率为 1/3 , 这时候我就拿不到金币。

所以: 始终选择换,拿到金币的概率 为2/3, 更高。

feezh
feezh
正解
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狮子暴走
狮子暴走
额  不知道唉
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