关于一个无穷小数证明题

TestXd 发布于 2011/09/11 20:14
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想必很多人看过这个图了,请指出错误在哪里

《编程之美》的2.6节也和这个一样,证明利用了相同的思想,明明是错的

  1=1=(1/3)*3=0.999999……

以下是问题补充:

@TestXd:谢谢各位了,看大家的争论也是一种享受啊 (2011/09/15 22:59)
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JiangMiao
JiangMiao

引用来自“xyz555”的答案

0.99999..... == 1

证明其实很简单,使用等比数列的和的极限就可以证明出来。

楼上的这个公式就已经证明出来了。

用极限来证明0.999... == 1是错误的方法。0.999...是一个数,而不是极限。从实数定义上证明或反证法更为合适。

对于上述式子,可改写成等式

而假设 0.999... == 1,可以得到

所以数0.999...与极限0.999...并不相等。

对于LZ的证明方法同样存在问题,10a = 9 + 0.999... 吗?因为我们知道

a = 0.9
10a != 9 + 0.9

a = 0.99
10a != 9 + 0.99

a = 0.999
10a != 9 + 0.999

所以任何情况下
a = 0.999...
10a != 9 + a
a != 1 

同样的方法却得出了不同的答案,这是因为0.999... == 1 是否成立是需要证明的,而LZ贴的论证过程却以此为论据进行证明却又不是反证法,显然是不正确的。

JiangMiao
JiangMiao
发现公式有误,因等于1/e 而非e,但不影响描述。
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ChenQi
ChenQi

引用来自“xyz555”的答案

引用来自“ChenQi”的答案

引用来自“xyz555”的答案

引用来自“ChenQi”的答案

引用来自“xyz555”的答案

引用来自“qiuggv”的答案

引用来自“ChenQi”的答案

引用来自“Jeky”的答案

引用来自“ChenQi”的答案

最重要的是数学技巧啊, 10a = 9 + a。 很是给力。

循环小数转换成分数都是这么转换的

比如说0.37... 就是37/99,过程都类似

嗯,对,还是利用这种"10a = 9 + a"的方法。

恩,确实是

"10a = 9 + a"

我都不知道这是怎么算的,应该是

"10a = 9a + a"吧?

 除非 a=1 这个 "10a = 9 + a" 才成立

居然还有人说确实是。

你没看清楚阿。
0.9+0.09+0.009+... = a
10a = 9 + 0.9 + 0.09 + ... = 9 + a

我没看清还是你没写清?

再说了你这个也不是证明,

“0.9+0.09+0.009+... = a 

10a = 9 + 0.9 + 0.09 + ... = 9 + a ”

10a = 9 + 0.9 + 0.09 + ... 这个怎么成立?要知道现在你并不知道 0.9+0.09+0.009+... = 1,这是需要证明的。a 只是你假设的,a到底等于多少是不知道的,如果a = 2你的等式能成立吗?这样你不能断言 10a = 9 + a

你可以先参考下微积分书上无穷项求和的内容。

先看完再说好吧?

我服了你,一个这么浅显的问题都还要争论。还要搬微积分,高中等比数列就解决的东西。

按你的理论

0.9+0.09+0.009+... = a 

10a = 9 + 0.9 + 0.09 + ... = 9 + a 

那我设

0.1 + 0.01 + 0.001 + ..... =  a

10a = 9 +0.1 + 0.01 + 0.001 + ..... = 9 + a 

那不是证明0.1 + 0.01 + 0.001 + ..... =  1?

按再我设

10 + 100 + 1000 + 10000 + ...... =  a

那不是10 + 100 + 1000 + 10000 + ...... =  1?

用你这方法我可以证明任何数怎么加都等于1

有未知数的等式只有在恒等的情况下才能画等号

比如10a = 9a + a,

不能是10a = 9 + a

这是初中生都知道的事情。没空跟你争,你要认为你的正确你继续.....


汗,明白了,咋俩说的不是一回事。。。。

我这里a特指0.99999999999。。。

而我说10a = 9a + 1, 也不过是一种概括而已,是说一种数学技巧,主要意思是,等式两边同乘以这样一个数可以使得问题简化。

比如0.1111111

那么就是 10a = 1 + a, a = 1/9。

咱就此打住吧,别搞出火药味来了。大家都是讨论问题。

 

xyz555
xyz555
10a = 1 + a, a = 1/9 你把a = 1/9代回去等式相等吗?等式变换时要做等价变换,10a = 9a + 1也不对。因为你在这里已经限定了a = 1等式才成立,那还要证明什么。
JiangMiao
JiangMiao
若以我的观点则是 设 a = 0.999... ; 则 10a = 9 + b ; 再证a与b表示同一数才能证得 0.999 == 1,这也是关键步骤,而非把a代b直接出a==1。
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Jeky
Jeky
0.9的的循环就等于1啊....没错啊
弦歌
弦歌
@Jeky : 9+a比9a+a少了0.000……1
Jeky
Jeky
@weihuang : 按着推理顺序是10a = 9 + a
弦歌
弦歌
10a=9+a? 应该是10a=9a+a吧?
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TestXd
TestXd

引用来自“Jeky”的答案

0.9的的循环就等于1啊....没错啊
那只能是无限接近于1
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Jeky
Jeky

引用来自“TestXd”的答案

引用来自“Jeky”的答案

0.9的的循环就等于1啊....没错啊
那只能是无限接近于1

1/3 = 0.3的循环 两边同乘3  1=0.9的循环

1/9 = 0.1的循环 两边同乘9  1=0.9的循环

0.9的循环可以看成以0.9为首项,以0.1为公比的等比数列的和:

表示没办法说得更明白了,等高人给你讲明白吧...

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i
ibmo

数学上,0.9的的循环就是1,因为你根本不可能找到一个介于0.9的循环和 1 之间的数。

如果 0.9 的循环不等于 1, 那就一定小于1, 把 0.9 的循环加上 1 再除以 2,那得到的数一定介于 0.9 的循环和 1 之间,但是这样的数是不存在的,因此 0.9  的循环就是 1 

从极限的观点上看, 0.9的循环也是 1 .


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xyz555
xyz555

0.99999..... == 1

证明其实很简单,使用等比数列的和的极限就可以证明出来。

楼上的这个公式就已经证明出来了。

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mallon
mallon
数字是静态的,无穷是动态的,没有可比性
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张江男
张江男

0.9... = 0.3... + 0.6...

0.9... = 1/3 + 2/3

0.9... = 1

小时候的小学的奥数老师是这样教我的。

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本草探花

这里涉及到数值计算的问题,数学上也是这样规定的,这是一种规定。在某种定义之下,规定了循环小数的含义。其实循环小数是有理数,也就是可以转化为分数的形式的数。

建议读者去看一下数值计算的有关章节,其中也有关于计算机的一些精度计算问题。

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